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家教吴洪贵的文章专栏
高中函数解题技巧
发表于:2014-07-24阅读:784次
高中数学函数知识点总结

9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

函数定义域求法:
 分式中的分母不为零;
 偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
 指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
 正切函数
 余切函数
 反三角函数的定义域
函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1]  ,值域是 ,函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是 .,函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域?
复合函数定义域的求法:已知 的定义域为 ,求 的定义域,可由 解出x的范围,即为 的定义域。
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例 求函数y= 的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y= -2x+5,x [-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂

13. 反函数存在的条件是什么?
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)


14. 反函数的性质有哪些?
反函数性质:
1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)
2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)
3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;


15 . 如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求 的正负号或者 与1的关系
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;(函数相加)
④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘)
⑤函数f(x)与 在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。(同增异减)
⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f-1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。
f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数
增 增 增 增 增
增 减 减 / /
减 增 减 / /
减 减 增 减 减













∴……)


17. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)


判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算 ,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

三、 复合函数奇偶性

f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x)
奇 奇 奇 奇 偶
奇 偶 偶 非奇非偶 奇
偶 奇 偶 非奇非偶 奇
偶 偶 偶 偶 偶









18. 你熟悉周期函数的定义吗?

函数,T是一个周期。)


我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t. 推导: ,
同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如:


19. 你掌握常用的图象变换了吗?
联想点(x,y),(-x,y)
联想点(x,y),(x,-y)
联想点(x,y),(-x,-y)
联想点(x,y),(y,x)
联想点(x,y),(2a-x,y)
联想点(x,y),(2a-x,0)


(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写出来吧。对于这种题目,其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)
注意如下“翻折”变换:





19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(k为斜率,b为直线与y轴的交点)

的双曲线。






应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程


②求闭区间[m,n]上的最值。

③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。






由图象记性质! (注意底数的限定!)


利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?(均值不等式一定要注意等号成立的条件)












20. 你在基本运算上常出现错误吗?







21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)







(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
1、 代y=x,
2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性,令y=—x;求单调性:令x+y=x1

几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数
f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y)
2. 幂函数型的抽象函数
f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y);f( )=
3. 指数函数型的抽象函数
f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y);f(x-y)=
4. 对数函数型的抽象函数
f(x)=logax(a>0且a≠1)-----f(x•y)=f(x)+f(y);f( )= f(x)-f(y)
5. 三角函数型的抽象函数

f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)=
f(x)=cotx------------------------ f(x+y)=

例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)= -2求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1));再根据区间求其值域.

例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)= 5,求不等式 f(a2-2a-2)<3的解.
分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(仿例1);再求出f(1)=3;最后脱去函数符号.

例3已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1].
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤ ,求a的取值范围.
分析:(1)令y=-1;
(2)利用f(x1)=f( •x2)=f( )f(x2);
(3)0≤a≤2.

例4设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2);对任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求:
(1)f(0);
(2)对任意值x,判断f(x)值的符号.
分析:(1)令x= y=0;(2)令y=x≠0.

例5是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)= f(a)f(b),a、b∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由.
分析:先猜出f(x)=2x;再用数学归纳法证明.

例6设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(x•y)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:
(1) f(1);
(2) 若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.
分析:(1)利用3=1×3;
(2)利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y= f(x)的反函数是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)•g(b)是否正确,试说明理由.
分析:设f(a)=m,f(b)=n,则g(m)=a,g(n)=b,
进而m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]….

例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:
① x1、x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)= ;
② f(a)= -1(a>0,a是定义域中的一个数);
③ 当0<x<2a时,f(x)<0.
试问:
(1) f(x)的奇偶性如何?说明理由;
(2) 在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由.
分析:(1)利用f [-(x1-x2)]= -f [(x1-x2)],判定f(x)是奇函数;
(3) 先证明f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数.
对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),
(1) 求证:f(1)=f(-1)=0;
(2) 求证:f(x)为偶函数;
(3) 若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(x- )≤0.
分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0)
(1) 先令x=y=1,再令x=y= -1;
(2) 令y= -1;
(3) 由f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|).

例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)•f(y),且当x<0时,f(x)>1,求证:
(1) 当x>0时,0<f(x)<1;
(2) f(x)在x∈R上是减函数.
分析:(1)先令x=y=0得f(0)=1,再令y=-x;
(3) 受指数函数单调性的启发:
由f(x+y)=f(x)f(y)可得f(x-y)= ,
进而由x1<x2,有 =f(x1-x2)>1.
练习题:
1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x、y都成立,则( )
(A)f(0)=0 (B)f(0)=1
(C)f(0)=0或1 (D)以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f(xy)=f(x)+f(y),则下列各式中错误的是( )
(A)f(1)=0 (B)f( )= f(x)
(C)f( )= f(x)-f(y) (D)f(xn)=nf(x)(n∈N)
3.已知函数f(x)对一切实数x、y满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y),且当x<0时,f(x)>1,则当x>0时,f(x)的取值范围是( )
(A)(1,+∞) (B)(-∞,1)
(C)(0,1) (D)(-1,+∞)
4.函数f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有
f(x1-x2)= ,则f(x)为( )
(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数f(x)是( )
(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数
参考答案:
1.A 2.B 3 .C 4.A 5.B

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